Search This Blog

Blogroll

Konstanta matematika e adalah basis dari logaritma alami. Kadang-kadang disebut juga bilangan Euler sebagai penghargaan atas ahli mate...

Bilangan e


Konstanta matematika e adalah basis dari logaritma alami. Kadang-kadang disebut juga bilangan Euler sebagai penghargaan atas ahli matematika Swiss, Leonhard Euler, atau juga konstanta Napier sebagai penghargaan atas ahli matematika Skotlandia, John Napier yang merumuskan konsep logaritma untuk pertama kali. Bilangan ini adalah salah satu bilangan yang terpenting dalam matematika, sama pentingnya dengan 0, 1, i, dan π. Bilangan ini memiliki beberapa definisi yang ekuivalen; sebagian ada di bawah.

Nilai bilangan ini, dipotong pada posisi ke-30 setelah tanda desimal (tanpa dibulatkan), adalah:

e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352


Sejarah Singkat

Pada tahun 1647 Saint-Vincent menghitung suatu daerah di bawah hiperbola persegi panjang.Apakah dia mengetahui hubungan antara daerah di bawah hiperbola persegi panjang berhubungan dengan logaritma? Hal ini masih diperdebatkan. Saat tahun 1661 Huygens memahami hubungan antara hiperbola persegi panjang dengan logaritma. Dia memeriksa secara eksplisit dan intensif hubungan antara daerah di bawah persegi panjang hiperbola "yx = 1" dan logaritma. Tentu saja, nilai e adalah sedemikian rupa sehingga daerah di bawah hiperbola persegi panjang dari 1 sampai e sama dengan 1. Tetapi karyanya tidak benar-benar diakui karena dia tidak menyebutkan bilangan ‘e’ secara jelas atau eksplisit.

Jacob Bernoulli menggunakan teorema binomial untuk menunjukkan bahwa batas itu harus terletak antara 2 dan 3 sehingga kita bisa menganggap hal ini menjadi pendekatan pertama ditemukannya e. Dia juga menerima ini sebagai definisi e. Akan tetapi jelas tidak mengakui hubungan antara karyanya ada kaitannya dengan pada logaritma.

Saat ini tentu saja dari persamaan x = at, kami menyimpulkan bahwa t = log x di mana basis log nya a. Dari sini kita benar-benar berpikir bahwa log adalah sebuah fungsi, sementara awal logaritma terfikirnya atau diciptakan adalah sebagai alat bantu perhitungan. Jacob Bernoulli lah yang pertama kali memahami bahwa fungsi log adalah kebalikan dari fungsi eksponensial.

Pada tahun yang sama itu Leibniz menulis surat kepada Huygens dan dalam hal ini ia menggunakan notasi b untuk apa yang sekarang kita sebut e. Akhirnya nomor e punya nama (bahkan jika tidak salah satu yang sekarang) dan itu yang diakui. Mungkin sekarang sobat allmipa bertanya kenapa kita tidak belajar sejarah bilangan ‘e’ dari pertama kali nilai ‘e’ muncul. Alasannya adalah karena walaupun pekerjaan yang sebelumnya kita bahas, tidak menyebutkan atau mengatur tentang apa itu ‘e’, perlahan-lahan setelah ‘e’ didefinisikan kita mulai menyadari bahwa karya sebelumnya relevan. Kilas baliknya, perkembangan awal logaritma merupakan bagian dari pemahaman tentang nilai ‘e’.

Nah sekarang pertanyaannya Kenapa e? Kenapa tidak a, b, atau c, atau d atau alfabey yang lain?

Hal itu dikarenakan Leonhard Euler lah yang pertama kali menemukan bahwa e notasi untuk nomor ini. Ada yang mengklaim bahwa Euler menggunakan huruf e karena itu huruf pertama dari namanya. Ini mungkin terjadi karena e berasal dari "eksponensial". Apapun alasannya, notasi e pertama kali muncul dalam sebuah surat Euler kepada Goldbach pada tahun 1731. Dia membuat berbagai penemuan mengenai e tahun-tahun berikutnya, tetapi tidak sampai 1748 ketika Euler menerbitkan “Introductio di analysin infinitorum” Dia menunjukkan bahwa :
e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...

Dalam suatu analisis matematika, Identitas Euler adalah persamaan:
Di mana persamaan tersebut menunjukkan pada kita sobat allmipa bahwa ada hubungan yang erat antar kelima bilangan paling penting dalam matematika, yaitu:
0 adalah identitas penjumlahan
1 adalah identitas perkalian
e adalah bilangan Euler, basis logaritma natural, yang nilainya adalah mendekati 2.71828182845905,
i adalah unit imajiner, salah satu dari dua bilangan kompleks yang kuadratnya negatif satu (bilangan yang satu lagi adalah -i), dan
adalah Pi, rasio perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameternya, yang nilainya adalah mendekati 3.14159265358979.
Harap perhatikan juga bahwa dalam persamaan tersebut terdapat operasi dasar aritmetika yaitu penjumlahan, perkalian, dan perpangkatan, dan masing-masing muncul satu kali.
Identitas Euler diciptakan atau ditujukan untuk mengenang ahli matematika Leonhard Euler.
Secara geometris persamaan ini dapat dibayangkan sebagai rotasi titik (1, 0) pada bidang kompleks sebesar 180° (radian), dilanjutkan dengan translasi sebesar 1 searah sumbu X. Deretan transformasi tersebut tiba pada titik asal (0, 0).

Penggunaan Bilangan e

* Bunga Bank
Awalnya, pada abad ke-17, seorang fisikawan dan matematikawan bernama Jacob Bernoulli tertarik dengan masalah bunga bank. Misalkan kita menyimpan uang 1 dolar di bank dan bank memberikan beberapa penawaran bunga seperti berikut ini.

Bank mau memberikan bunga 100% setiap tahun. Setelah setahun uang kita akan bertambah 100% sehingga di tahun berikutnya uang kita menjadi (1 + 1 × 100%) dolar = 2 dolar.
Penawaran 50% setiap 6 bulan sekali. Dalam 6 bulan pertama uang kita menjadi (1 + ½), dan enam bulan berikutnya menjadi (1 + ½) + [(1 + ½ ) × ½] = 1 × (1 + 1/2)2 = 2,25 dolar. Wow! Semakin beruntung!

Bagaimana jika kita buat penambahan bunganya semakin sering? Misalnya, penawaran 1 kali dalam sebulan untuk setahun dengan bunga (1/12) dari tabungan awal. Kita akan mendapat 1 × (1 + 1/12)12 = 2,61 dolar.
Untuk penawaran 1 kali dalam satu minggu dengan bunga (1/52) dari tabungan, kita bisa mendapatkan 1 × (1 + 1/52)52 = 2,69 dolar.
Bagaimana jika bunganya semakin sering seperti dalam sehari, setiap jam, setiap menit, setiap detik, setiap nanodetik, dan seterusnya menjadi pemberian bunga yang selalu berlanjut? Berapa hasil yang didapat untuk pemberian bunga yang selalu berlanjut itu? Itulah yang Bernoulli ingin ketahui. Namun, dia tidak berhasil mendapatkannya saat itu. Dia hanya mengira bahwa hasil itu haruslah suatu angka di antara 2 dan 3. Nah, 50 tahun kemudian Euler yang berhasil menemukannya. Euler mendefinisikannya sebagai formula baru, yaitu:

* Menghitung jumlah penduduk
untuk menghitung jumlah penduduk suatu negara jika diketahui laju pertumbuhan. Misalkan Indonesia memiliki laju pertumbuhan penduduk r = 1,2% per tahun. Pada tahun 2013, jumlah penduduk Indonesia adalah P0 = 249,9 juta jiwa. Dengan memanfaatkan bilangan Euler, jumlah penduduk Indonesia pada tahun 2023 (atau 10 tahun kemudian) dapat diprediksi sebagai berikut:

* Fisika Atom
Di dalam pelajaran fisika atom, bilangan e sering dipakai untuk mengukur peluruhan unsur radioaktif. Contoh kasusnya, jika 100,0 mg neptunium-239 (239Np) meluruh menjadi 73,36 mg setelah 24 jam, berapakah laju peluruhan per harinya? Kita bisa menggunakan persamaan berikut ini:
dengan λ adalah laju peluruhan. Perhatikan pangkat negatif pada argumen e menunjukkan bahwa nilai N selalu meluruh atau lebih kecil dibandingkan N0. Dengan memasukkan bilangan-bilangan yang diketahui, kita bisa uraikan:
Dengan demikian, kita peroleh laju peluruhan neptunium adalah sekitar 31% per hari.

Sekian postingan kali ini, semoga bermanfaat.

Bahan bacaan:

Ulasan dari akun Numberphile di Youtube seputar bilangan Euler.
https://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant).




Privacy Policy

0 comments: